概率论基础：补充（1）概率的公理化定义与随机变量的概念

概率的公理化定义

为了准确理解与深入研究随机现象，我们不能满足于从直觉出发形成的概率定义（概率的稳定值或可能性大小的个人信念），必须把概率论建立在坚实的数学基础上，科尔莫哥洛夫1933年在《概率论基本概念》一书中用集合论观点和功利化方法成功解决了这个问题。

首先，可以看到事件的关系和集合关系之间存在着重要的联系。我们给出两者之间的对应关系，之后对于事件的研究就转化为对集合的研究。

条件 S 下的「事件」就是若干个结果的集合（即 $\Sigma$ 的子集），所谓观察到事件 A 发生就是指 S 下出现的结果属于 A 。显然，$\Sigma$ 本身是必然事件，空集 $\varnothing$ 是不可能事件。
如果$A\in \Sigma$，则$A^c=\Omega -A$就是 A 的对立事件 $\bar{A}$。
所谓 A 与 B 不相容就是指$A\cap B= \varnothing$（即A与B不相交）。
事件的并和交分别归结为集合的并和交。

$\Sigma$ 是任意的非空集合，叫作基本事件空间（样本空间），其背景是条件 S 下所有可能的不同结果的全体（每个结果是一个「基本事件」）

定义1: 设 $\mathcal{F}$ 是由 $\Sigma$ 的一些子集组成的集合（这种由集合组成的集合一般叫作集合系），$P=P(\cdot)$ 是 $\mathcal{F}$ 上有定义的实值函数。如果定义域 $\mathcal{F}$ 和函数 P 满足下列条件：

$\Omega\in\mathcal{F}$
若$A \in\mathcal{F}$，则$A^c=\Omega-A \in\mathcal{F}$
若$A_n \in\mathcal{F} (n=1,2,...)$，则 $\bigcup_{n=1}^\infty A_n \in\mathcal{F}$
$P(A)\ge 0 (A\in \mathcal{F})$
$P(\Omega)=1$
若$A_n \in\mathcal{F} (n=1,2,..)$且两两不相交，则$P(\bigcup_{n=1}^\infty A_n)=\sum_{n=1}^\infty P(A_n)$

那么称 $P$ 是 $\mathcal{F}$ 上的概率测度（简称概率），$ P(A)$ 为 $A$ 的概率（也称 $A$ 发生的概率）。附有 $\mathcal{F}$ 和 $P$ 的 $\Omega$ 叫作概率空间，有时也说 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 是概率空间。

定义2: 设 $\mathcal{F}$ 是由 $\Omega$ 的一些子集组成的集合，具有上述 1-3 的性质，则称 $\mathcal{F}$ 是 $\Omega$ 中的 $\sigma$ 域（或 $\sigma$ 代数）。

其中前三条构成的集合称为 $\sigma$ 域；而后三条，即非负性、完全性、可列可加性则是概率的公理化定义。

补充定义（测度）：设$\mathcal{F}$是由$\Omega$的一些子集组成的集合，$\varnothing\in\mathcal{F}$，称$\mathcal{F}$上有定义的函数$\mu=\mu(\cdot)$为测度，如果它满足：

$0\le\mu(A)\le+\infty$
$\mu(\varnothing)=0$
若$A_n \in\mathcal{F} (n=1,2,...)$两两不相交且 $\bigcup_{n=1}^\infty A_n\in\mathcal{F}$，则$\mu(\bigcup_{n=1}^\infty A_n)=\sum_{n=1}^\infty \mu(A_n)$

可以看到，我们定义的概率测度是一种特殊的测度。

任意指定非空集合 $\Omega$ 及 $\Omega$ 中的一些子集组成的 $\sigma$ 域 $\mathcal{F}$ 以及$\mathcal{F}$ 上有定义的概率 P ，所得到的三元组 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 是我们研究概率的基础和出发点。

（前三条）首先指出，$\sigma$ 域 $\mathcal{F}$ 关于集合的基本运算是「封闭」的。即，任意个数（有限、可数）集合的交/并仍属于$\mathcal{F}$，两集合之差也属于$\mathcal{F}$。
（后三条）其次，经由上述定义在 $\sigma$ 域 $\mathcal{F}$ 上的概率函数 P 有一系列的性质（在此省略）。

随机变量的概念

注意到，随机变量是概率论乃至统计学的核心概念之一，因此以下对这一概念进行进一步的阐释。

在《概率与统计》中，对于随机变量有两种定义（后者更为完全）

定义1: 如果条件 S 下所有可能的结果组成集合 $\Omega=\{\omega\}$， $X=X(\omega)$ 是 $\Omega$ 上有定义的实值函数，而且对任何实数 c，事件$\{\omega: X(\omega)\le c\}$ 是有概率的，则称 X 是随机变量。

定义2: 设$(\Omega, \mathcal{F}, P)$是概率空间， $X=X(\omega)$是$\Omega$ 上有定义的实值函数，如果对任何实数x，集合$\{\omega: X(\omega)\le x\}$ 属于$\mathcal{F}$，则称X是$(\Omega, \mathcal{F}, P)$上的随机变量。

包含两个方面的内容：

随机变量 $X=X(\omega)$ 是基本事件 $\omega$ 的函数，它体现随机而变
虽然$X=X(\omega)$ 的值不能预先确定（因为无法预料将出现什么样的 $X=X(\omega)$ ，但是对给定的 x，事件$\{\omega: X(\omega)\le x\}$ 是有确定概率的，这体现了随机变量的一种「规则性」

最后，给出 wiki 上的定义作为参考：

A random variable is a measurable function $X: \Omega\rightarrow E$ from a set of possible outcomes $\Omega$ to a measurable space $E$. The technical axiomatic definition requires $\Omega$ to be a sample space of a probability triple (see the measure-theoretic definition). The probability that $X$ takes on a value in a measurable set ${\displaystyle S\subseteq E}$ is written as ${\displaystyle \operatorname {P} (X\in S)=\operatorname {P} (\{\omega \in \Omega \mid X(\omega )\in S\})}$, where ${ } $ is the_probability measure_on ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$.

在这样严格定义的随机变量的概念下，用分布函数来刻画随机变量的概率特性：

定义：设 $X=X(\omega)$是随机变量，称函数 \[ F(x)=P(X\le x), (x\in R) \]

为 $X$ 的分布函数，有时记为 $F_X(x)$。

由此定义的分布函数有以下三条性质

单调性：若$a<b$，则 $F(a)\le F(b)$
$\underset{x\rightarrow -\infty}{lim}F(x)=0, \underset{x\rightarrow +\infty}{lim}F(x)=1$
右连续性：$\underset{\delta\rightarrow 0+}{lim}F(x+\delta)=F(x)$

后两条的证明可考虑事件并公式，注意到右连续性是从分布函数的定义推导出来的，在此基础上，有